几何篇

几何学发展阶段

第一阶段

发现各种面积以及很多复杂几何体的计算公式，知晓圆周率的存在

第二阶段

量化的角度测量（360度与60进位）

第三阶段

记录所发现的规律，传播知识，形成体系

为什么是古希腊人完成公理体系的搭建？

• 古希腊人大多数时间都用于理性的思考与辩论，使他们在从知识点中抽象出概念形成体系
• 自由是科学进步的必要条件

公理化体系

使数学能被快速掌握并快速发展

公理

公理：如果一个结论找不到根据，又符合事实，且需要不断被使用，就只能将其称为公理

定理：由公理推出

一般性公理

• a=b,b=c,则a=c
• 如果a=b，c=d，那么a+c=b+d
• 如果a=b，c=d，那么a-c=b-d
• 能彼此重合的图形是全等的
• 整体大于部分

几何学公理（欧几里得）

• 直线公理：两点一直线
• 有限直线可以继续延长
• 圆公理：容易点为中心，容易距离可以画圆
• 垂直公理：直角彼此相等
• 平行公理：过直线外一点仅可做一条平行线

非欧几何公理

与欧几里得前四条一样，第五条通过修改假定可以得到另外的几何学系统

黎曼几何假定一条平行线也做不出来，但是适用于物理情况

作用

数学问题可以被拆解为几个基本的公理，解决公理即可解决问题

遇到具体问题，先从定义与公理出发，得到相关的定理

任何人只要运用逻辑推理，就能先易后难地学会整个体系的知识

圆周率

五个阶段

• 通过经验对圆周率进行估算
• 靠理性
• 用数列估算
• 运用微积分
• 运用计算机算（本质还是微积分）

圆周率的重要性

• 各个方面的对称性
• 圆可以和任何由直线组成的几何图形平滑地连接

解析几何

用解方程的方法解决几何问题，还能运用几何学的直观特性赋予方程形象的解释

三大贡献

• 构造出统一体系
• 基本概念用代数的方式描绘出来
• 将几何学与代数两个相对的数学分支统一起来