向量空间

1. ​​核心概念​​

   • ​​子空间​​：对加法和数乘封闭（含零向量）
   • ​​基与维数​​：最大线性无关组，维数=基向量数
   • ​​秩​​：rank A= 主元列数 = 列空间维数

2. ​​四大子空间​​ 🌟

   空间	定义域	维数公式	关联
   列空间 C(A)	Rm	rank A	Ax=b 的解存在条件
   零空间 N(A)	Rn	n−rank A	Ax=0 的解空间
   行空间 C(AT)	Rn	rank A	与列空间维数相同
   左零空间 N(AT)	Rm	m−rank A	ATy=0 的解空间

3. ​​正交性​​

   • ​​正交基​​：向量两两正交 → 标准正交基（单位化）
   • ​​Gram-Schmidt 正交化​​：逐步构造正交基（如 u2​=v2​−u1​⋅u1​v2​⋅u1​​u1​）