哥德尔不完备定理

数论的所有一致的公理化形式系统都包含不可判定的命题

想看懂这句话得先了解以下几个概念，下面的解释都狭义到刚好足够弄懂这个定理的程度

♤ 数论：描述自然数（0，1，2…）性质的陈述。。如（3是素数，1792是两个自然数的平方）
♤形式系统：由确定的推理规则和特定的符号组成的系统，用来反映自然数的性质（这本书提到的都是数论的形式系统，如等下证明会用到的TNT系统就是由+，=，~，∀等符号（想想高中学过的全称量词与存在量词）还有表示所有自然数的符号组成的）
♤ 定理：形式系统中根据规则推导出来的公式。每一条定理都说了一句关于数论陈述的真话（表述了正确的自然数性质 ，也叫真理，如“1792是两个自然数的平方”就是一条TNT系统的定理，因为这句话是正确的，但是在TNT系统中 这句话是用TNT系统的符号写出来的）
♤ 形式系统的完全性：形式系统中的每一条定理表述了一条真的数论陈述，那如果全世界所有真的数论陈述都可以被一个系统中的定理表述出来，这个系统就是完全的
♤ 形式系统的不完全性：不完全性就是说，有真理不能被定理表述出来

哥德尔不完全性定理：“数论的所有一致的公理化形式系统都包含不可判定的命题“就可理解为：所有数论的形式系统中都至少有一句话，你没办法判定它是不是定理（你不能说他不是定理，也不能说它是）

其实这个句话就是在说：“我不是一条定理”（我们把它取名为“G”）**，你没有办法判定是因为

1.如果G是定理 则说明它说了一句真话 → 矛盾

2,如果G不是定理那他就的确说了一句真话 → 那他就是不能被系统定理表示的真话——系统不完全性的原因

这里其实就是说谎者悖论，说谎者悖论的核心在于其自指星：
自指的存在让所有系统都具有不可避免缺陷，任何系统只要有谈论自身的能力，内部就存在不可消除的矛盾，不完全性成了所有系统的固有性质。这就告诉我们，不能指望有系统可以解决所有的问题，鉴别所有句子的真假，因为他们都是不完全的漏洞系统。因此在物理学，社会学，哲学或者任何领域，所有构建大一统理论体系的努力是注定要失败的

[[证明]]

[[意义]]