场论统一

格林 → 斯托克斯 → 高斯

向量场积分​​

​​16.1 标量场曲线积分（I型）​​

• ​​物理意义​​：计算曲线型物体的质量（如电线、管道）

  ∫C​f(x,y,z)ds=∫ab​f(r(t))∣r′(t)∣dt

  • f：线密度函数，ds：弧长微元

​​16.2 向量场曲线积分（II型）​​

• ​​三大应用​​：

  类型	公式	物理意义
  ​​功​​	∫C​F⋅dr	力场沿路径做功
  ​​环量​​	∮C​F⋅Tds	向量场旋转强度
  ​​通量​​	∮C​F⋅nds	穿过曲线的流量

​​16.3 保守场与路径无关​​

• ​​核心判据​​（四等价条件）:
  1. ∮C​F⋅dr=0（闭曲线积分为零）
  2. ∇×F=0（旋度为零）
  3. F=∇f（存在势函数 f）
  4. 积分与路径无关

​​16.4 格林公式​​

• ​​连接曲线与区域积分​​：

  ∮C​Pdx+Qdy=∬D​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dA

• ​​物理意义​​：平面区域 D 的环量 = 旋度在 D 上的积分

​​16.6 标量场曲面积分（I型）​​

• ​​应用​​：计算曲面质量（如薄壳）

  ∬Σ​g(x,y,z)dσ

  • g：面密度函数，dσ：面积微元

​​16.7 斯托克斯定理​​

• ​​三维环量定理​​：

  ∮C​F⋅dr=∬Σ​(∇×F)⋅dS

• ​​意义​​：曲面边界环量 = 旋度通过曲面的通量

  • _示例_：计算涡旋流体通过网面的总旋转量

​​16.8 高斯散度定理​​

• ​​统一通量理论​​：

  ∬​Σ​F⋅dS=∭V​(∇⋅F)dV

• ​​物理意义​​：

  • 左：闭合曲面 Σ 的净流出量
  • 右：向量场在体积 V 内的总源/汇强度
  • _应用_：计算电场中闭合面的净电通量

​​三大定理关系​​：

格林（2D平面） → 斯托克斯（3D曲面） 格林（2D） → 高斯（3D空间）

• 格林是斯托克斯在二维特例；高斯将通量推广到三维

---

​​第17章 二阶微分方程​​

​​17.1 二阶线性方程​​

• ​​标准形式​​：

  y′′+P(x)y′+Q(x)y=0

• ​​解的结构​​：

  • 通解 = C1​y1​(x)+C2​y2​(x)（y1​,y2​ 线性无关）

​​17.2 非齐次方程​​

• ​​特解构造法​​：

  非齐次项 r(x)	特解形式 yp​
  eαx	Aeαx
  sinβx	Asinβx+Bcosβx
  xn	多项式待定系数

• ​​通解公式​​：

  y=齐次解C1​y1​+C2​y2​​​+特解yp​​​

​​17.3 物理应用​​

• ​​典型模型​​：

  方程	物理系统
  my′′+cy′+ky=0	弹簧阻尼振动
  LQ′′+RQ′+C1​Q=0	RLC电路振荡
  y′′+ω2y=0	无阻尼简谐振动

​​17.4 欧拉方程​​

• ​​变系数线性方程​​：

  x2y′′+axy′+by=0

• ​​解法​​：令 x=et 转化为常系数方程

​​17.5 幂级数解法​​

• ​​适用条件​​：变系数方程在常点邻域
• ​​步骤​​：
  1. 设解 y=∑n=0∞​cn​xn
  2. 代入方程比较系数求 cn​