微分
微分（Differentiation）
极限是否存在 ->是否连续 -> 是否可导 -> 导数是否连续
极限 → 导数 → 积分 → 级数 → 微分方程
核心目标： 研究函数的变化率与局部行为（如切线斜率、极值点）。
1. 基础准备
- Chap 1.1–1.3：函数与图像
- 函数定义域、值域、奇偶性、周期性（1.1）。
- 函数复合、平移伸缩变换（1.2）。
- 三角函数基本性质（1.3）。
2. 极限理论（Chap 2）
- 导数根基：
- 平均变化率 → 瞬时变化率（2.1）。
- 极限定义（limx→cf(x)=L）、极限法则（四则运算）（2.2）。
- ε-δ 精确定义（2.3）、单侧极限（2.4）。
- 连续性判断（2.5）：limx→cf(x)=f(c)。
- 无穷极限与渐近线（2.6）。
3. 导数计算（Chap 3）
- 定义与规则：
- 点导数：f′(a)=limh→0hf(a+h)−f(a)（3.1）。
- 导函数 f′(x) 的求解（3.2）。
- 核心法则：
- 幂函数、指数、对数函数导数（3.3）。
- 三角函数导数：dxdsinx=cosx，dxdcosx=−sinx（3.5）。
- 链式法则：dxdy=dudy⋅dxdu（3.6）。
- 隐函数求导（3.7）。
- 相关变化率（3.8）：建立变量关联方程后求导。
- 应用工具：
- 线性近似：L(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)（3.9）。
- 微分 dy=f′(x)dx（3.9）。
4. 导数应用（Chap 4）
- 函数性态分析：
- 闭区间最值定理（4.1）。
- 中值定理：f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)（4.2）。
- 单调性判别：f′>0 增，f′<0 减（4.3）。
- 凹凸性与拐点：f′′>0 凹，f′′<0 凸（4.4）。
- 优化与数值方法：
- 最优化建模（4.5）：设变量、建目标函数、求临界点。
- 牛顿法迭代：xn+1=xn−f′(xn)f(xn)（4.6）。