概率基础

概率基础​​

1. ​​事件关系​​

   • ​​运算律​​：

     公式类型	表达式	条件
     加法公式	P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)	一般事件
     互斥事件加法	P(A∪B)=P(A)+P(B)	AB=∅
     德摩根定律	P(A∪B)=P(Aˉ∩Bˉ)	任意事件

   • ​​独立性​​：

     • A,B独立 ⇔P(AB)=P(A)P(B)
     • ​​性质​​：若A,B独立，则A与Bˉ、Aˉ与B、Aˉ与Bˉ均独立

2. ​​条件概率​​

   • P(A∣B)=P(B)P(AB)​
   • ​​乘法公式​​：P(AB)=P(A)P(B∣A)=P(B)P(A∣B)
   • ​​全概率公式​​：P(A)=∑i​P(Bi​)P(A∣Bi​) （Bi​为完备事件组）
   • ​​贝叶斯公式​​：P (Bk​∣A)=∑i​P (Bi​) P (A∣Bi​) P (Bk​) P (A∣Bk​)​

事件关系

集合

• 样本空间

  • 一个实验所有可能的集合

• 特点

  • 必须包含所有的可能结果

  • mutually exclusive 相互排斥

• 空集Empty set

  • 不包含任何元素

• Complement补集

  • 定义

事件

• Event

  • 样本空间内良好定义的自集

• 互不相容事件

  • A,B不同时发生，AB=空集

• 完备事件组

  • A,A2,…An两两不相容，且构成全集

• 对立事件

  • A,B不相容

*事件的计算（一般情况）

• 减法：

  • A-B=A-AB

• *加法其实就是并集：

  • 一般情况

    • A+B=A+B-AB（交集）

    • 多个并

  • 不相容

    • A+B=A+B

• De Morgan，对所有事件

• 运算律

  • 基本运算

    • 对所有并事件

    • 对A交B存在的所有事件

  • 交换Commutative law

  • 结合Associative laws

  • *分配Distributive laws

  • *对偶De Morgan’s laws