矩阵

矩阵基础​​

1. ​​特殊矩阵类型​​

   • 对角阵、零矩阵、单位阵（含初等矩阵、置换矩阵）
   • 对称矩阵（AT=A）、三角矩阵
   • 行阶梯矩阵（Reduced echelon form 需化简至主元为1且上下清零）

2. ​​矩阵运算​​

   • ​​乘法规则​​：C=AB（行×列），分块乘法（子矩阵维度需匹配）
   • ​​性质​​：结合律/分配律成立，但​​无交换律​​⚠️、无消去律
   • ​​初等变换​​：行交换、数乘行、行加减（列变换同理）

3. ​​逆矩阵​​

   • ​​可逆条件​​：A 满秩（行列式detA=0）
   • ​​求法​​：
     • _数值矩阵_：Gauss-Jordan法（[A∣I]→[I∣A−1]）
     • _抽象矩阵_：利用 AB=I 或分解法（如 A=(I−B)−1）
   • ​​性质​​：(AB)−1=B−1A−1，(kA)−1=k−1A−1（k=0）

4. ​​转置与伴随​​

   • (AB)T=BTAT，(AT)−1=(A−1)T
   • 伴随矩阵 A∗：AA∗=A∗A=(detA)I，∣A∗∣=∣A∣n−1