积分

积分（Integration）​​

​​核心目标：​​ 计算累积量（面积、体积）、求解反导数。 ​

​​1. 理论基础（Chap 5）​​

• ​​积分的起源：​​
  • 黎曼和：∑k=1n​f(xk∗​)Δx → 面积近似（5.1）。
  • Σ记号与求和极限（5.2）。
• ​​定积分定义：​​
  • ∫ab​f(x)dx=lim∥P∥→0​∑f(xk∗​)Δxk​（5.3）。

​​2. 核心定理与方法（Chap 5）​​

• ​​微积分基本定理（FTC）：​​
  • ​​FTC1：​​ dxd​∫ax​f(t)dt=f(x)（5.4）。
  • ​​FTC2：​​ ∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)，其中 F′(x)=f(x)（5.4）。
• ​​积分技巧：​​
  • 不定积分（反导数）：∫f(x)dx=F(x)+C（5.5）。
  • 换元法：∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du（5.5）。
  • 定积分换元与曲线间面积（5.6）。

​​3. 积分应用（Chap 6）​​

• ​​几何应用：​​
  • 截面法求体积：V=∫ab​A(x)dx（6.1）。
  • 柱壳法求体积：V=2π∫ab​xf(x)dx（6.2）。
  • 弧长公式：L=∫ab​1+(f′(x))2​dx（6.3）。
  • 旋转体表面积：S=2π∫ab​y1+(y′)2​dx（6.4）。
• ​​物理应用：​​
  • 变力做功：W=∫ab​F(x)dx（6.5）。
  • 流体静压力：F=ρg∫ab​深度⋅宽度 dy（6.5）。
  • 质心坐标：xˉ=M1​∫xdm（6.6）。