随机变量与分布

1. • ​​分布类型​​

     分布类型	概率函数/密度函数	期望	方差	应用场景
     ​​二项分布​​	P(X=k)=Cnk​pk(1−p)n−k	np	np(1−p)	n次独立伯努利试验
     ​​泊松分布​​	P(X=k)=k!λke−λ​	λ	λ	稀有事件发生次数
     ​​指数分布​​	f(x)=λe−λx (x>0)	λ1​	λ21​	寿命/等待时间模型
     ​​正态分布​​	f(x)=σ2π​1​e−2σ2(x−μ)2​	μ	σ2	自然现象测量误差

   • ​​重要性质​​

     • ​​正态标准化​​：若 X∼N(μ,σ2)，则 σX−μ​∼N(0,1)
     • ​​可加性​​：
       • 二项分布：Xi​∼B(ni​,p)⇒∑Xi​∼B(∑ni​,p)
       • 正态分布：Xi​∼N(μi​,σi2​)⇒∑ai​Xi​∼N(∑ai​μi​,∑ai2​σi2​)

   • ​​随机变量函数​​

     • ​​期望​​：E[g(X)]={∑g(xk​)pk​∫g(x)f(x)dx​离散连续​
     • ​​方差​​：Var(X)=E[X2]−(E[X])2
     • ​​协方差​​：Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]
     • ​​相关系数​​：ρXY​=Var(X)Var(Y)​Cov(X,Y)​